sábado, 30 de abril de 2011

GRANDES GÊNIOS DA MATEMÁTICA

Isaac Newton:


    Em um dia ensolarado, Newton descansava deitado embaixo de uma macieira, quando de repente uma maça caiu ao seu lado, e, num momento de inspiração, ele formulou a Lei da Gravitação Universal, conhecida e estudada até hoje.
    Isaac Newton era grande discípulo de Galileu Galilei, que morreu no ano do nascimento de Newton, e conhecia todas as suas teorias. Após este acontecimento, Newton passou a formular outras leis, como a de Ação e Reação, que diz: "Toda ação produzirá uma reação, de igual intensidade mas de sentidos opostos". Outra lei famosa é a da inércia, tendência que os corpos têm de manter sua velocidade. Também foi ele quem deduziu que a força peso é o produto da massa de um corpo multiplicada pelo valor da aceleração da gravidade.
    Além da Física, Newton era um estudioso em outras áreas de conhecimento, como a Matemática, na qual contribuiu com, por exemplo, as funções logarítmicas e os seus binômios. O aprofundamento nesses cálculos se deu ao fato de não haver "matemática suficiente" para explicar suas descobertas.
    Newton trocou correspondências com outros cientistas e inventores de sua época, como, por exemplo Kepler e também Leonardo Da Vinci.
    Galileu é considerado o pai da Física, porém foi Isaac Newton quem deu uma das maiores contribuições para a continuação desta ciência. A Física só é o que é hoje graças a ele.






Albert Einstein:


O mais célebre dos cientistas do século XX, responsável por teorias que revolucionaram não apenas a física, mas o próprio pensamento humano, Einstein acreditava que só a evolução moral impediria uma catástrofe a nível planetário.


Albert Einstein nasceu na cidade alemã de Ulm, em 14 de março de 1879. Filho de um pequeno industrial judeu, iniciou os estudos em Munique e cedo se destacou no estudo da matemática, física e filosofia. Ainda na infância, incentivado pela mãe, começou a estudar violino, instrumento que o acompanharia ao longo da vida. Com o objetivo de tornar-se professor, concluiu o curso de graduação no Instituto Politécnico de Zurique, em 1900, época em que já dedicava a maior parte de seu tempo ao estudo da física teórica. Obteve nessa época a cidadania suíça e, não tendo conseguido colocação na universidade, aceitou um lugar no departamento de patentes em Berna.


Em 1905, ano em que concluiu o doutorado, Einstein publicou quatro ensaios científicos, cada um deles com uma grande descoberta no campo da física. No primeiro, fez uma análise teórica do movimento browniano, produzido pelo choque das partículas de um líquido sobre corpos microscópicos nele introduzidos; no segundo, formulou uma nova teoria da luz, com o importante conceito de fóton, baseando-se na teoria quântica proposta em 1900 pelo físico Max Planck; no terceiro, expôs a formulação inicial da teoria da relatividade e no quarto e último trabalho, propôs uma fórmula para a equivalência entre massa e energia, a célebre equação E = mc², pela qual a energia E de uma quantidade de matéria, com massa m, é igual ao produto da massa pelo quadrado da velocidade da luz, representada por c.


Descoberta da relatividade.


No ensaio dedicado à relatividade, intitulado "Elektrodynamik Bewegter Körper" ("Movimento eletrodinâmico dos corpos"), o cientista afirma que espaço e tempo são valores relativos e não absolutos, ao contrário do que se acreditava até então. Afirma ainda ser a da luz a velocidade máxima no universo e acrescenta: para o corpo que se deslocasse a essa velocidade, o tempo sofreria uma dilatação, ao mesmo tempo em que se registraria uma contração do espaço. Assim, o corpo que permanecesse em repouso envelheceria em relação ao outro corpo, em movimento.


Cada vez mais respeitado no meio acadêmico, Einstein ensinou em Berna, Zurique e Praga, entre os anos de 1909 e 1913. Foi então convidado a ocupar uma cátedra na Universidade de Berlim, que pouco depois acumulou com a direção do respeitado Instituto Kaiser Wilhelm. Nessa época, sua grande preocupação era a generalização da teoria da relatividade, com a elaboração de uma nova teoria capaz de interpretar, por meio de considerações semelhantes, o campo eletromagnético e o campo gravitacional, que acabaria por receber a denominação de teoria do campo unificado. Em 1916, o cientista publicou Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie (Fundamento geral da teoria da relatividade), formulação final da teoria geral da relatividade. Nesse mesmo ano, passou a manifestar uma preocupação com os problemas sociais que o acompanharia ao longo de toda a sua carreira.


Em 1919, Einstein tornou-se conhecido em todo o mundo, depois que sua teoria foi comprovada em experiência realizada durante um eclipse solar. Por essa época começou a viajar pelo mundo, não apenas para expor suas teorias físicas, mas também para debater problemas como o racismo e a paz mundial. Uma dessas viagens o traria ao Brasil, em 1925. Em 1921, foi agraciado com o Prêmio Nobel de física e indicado para integrar a Organização de Cooperação Intelectual da Liga das Nações. No mesmo ano, publicou Über die spezielle und allgemeine Relativitätstheorie gemeinverständlich (Sobre a teoria da relatividade especial e geral), obra de divulgação.


A noção de equivalência entre massa e energia, a do continuum quadridimensional e outras descobertas de Einstein provocaram uma verdadeira renovação do pensamento humano, num período de grande fertilidade intelectual, com interpretações filosóficas das mais diversas tendências. Os resultados de suas descobertas foram utilizados como argumento tanto pelos defensores do empirismo de total rigor lógico quanto pelos adeptos do idealismo matemático, segundo o qual o universo pode ser reduzido à abstração das fórmulas e das relações numéricas.


Bomba atômica e pacifismo.


Em 1933, um ano após visitar universidades e instituições de pesquisas nos Estados Unidos, Einstein renunciou a seus cargos na Alemanha, onde os nazistas já estavam no poder, e fixou residência em território americano. Passou a ensinar no Instituto de Estudos Avançados da Universidade de Princeton, do qual se tornaria diretor. Em 1940 adotou a cidadania americana.


Durante esse período, o desenvolvimento de armas nucleares e as manifestações cada vez mais freqüentes de racismo no mundo constituíram as principais preocupações de Einstein. Os físicos alemães Otto Hahn e Lise Meitner tinham descoberto como provocar artificialmente a fissão do urânio. Na Itália, as pesquisas de Enrico Fermi indicavam ser possível provocar uma reação em cadeia, com a liberação de um número cada vez maior de átomos de urânio e, em conseqüência, de enorme quantidade de energia. Fermi, que acabara de chegar aos Estados Unidos, e os físicos húngaros Leo Szilard e Eugene Wigner pediram então a Einstein que entrasse em contato com a Casa Branca. Ele escreveu então uma carta ao presidente Franklin Roosevelt em que alertava para o risco que significaria para a humanidade a utilização pelos nazistas da tecnologia nuclear na fabricação de armas de grande poder destrutivo. Logo após receber a mensagem, o chefe de estado americano deu início ao projeto Manhattan, que tornou os Estados Unidos pioneiros no aproveitamento da energia atômica em todo o mundo e resultou na fabricação da primeira bomba atômica.


Embora não tivesse participado do projeto e sequer soubesse que uma bomba atômica tinha sido construída até que Hiroxima fosse arrasada, em 1945, o nome de Einstein passou para a história associado ao advento da era atômica. Durante a segunda guerra mundial, ele participou da organização de grupos de apoio aos refugiados e, terminado o conflito, após o lançamento de bombas atômicas em Hiroxima e Nagasaki, uniu-se a outros cientistas que lutavam para evitar nova utilização da bomba. Intensificando a militância pacifista, defendeu particularmente o estabelecimento de uma organização mundial de controle sobre as armas atômicas. Em 1945, renunciou ao cargo de diretor do Instituto de Estudos Avançados da Universidade de Princeton, mas continuou a trabalhar naquela instituição.


A intensa atividade intelectual de Einstein resultou na publicação de grande número de trabalhos, entre os quais vale destacar Warum Krieg? (1933; Por que a guerra?), em colaboração com Sigmund Freud; Mein Weltbild (1949; O mundo como eu o vejo); e Out of My Later Years (1950; Meus últimos anos). A principal característica de sua obra foi uma síntese do conhecimento sobre o mundo físico, que acabou por levar a uma compreensão mais abrangente e mais profunda do universo. Suas descobertas tornaram possível entender o comportamento das partículas animadas de grande velocidade e suas respectivas leis. Os princípios da relatividade revolucionaram a física newtoniana, pois, com o emprego de aceleradores, tornou-se possível obter partículas animadas de enorme velocidade, cuja mecânica em muito se afasta das leis newtonianas.


Einstein conseguiu reduzir as leis da mecânica e harmonizá-las com aquelas que regem as propriedades dos campos eletromagnéticos. Com sua concepção de fóton, permitiu que mais tarde se fundissem, na teoria ondulatória de Louis de Broglie, a mecânica e o eletromagnetismo, o que no século anterior parecia impossível. Albert Einstein morreu em Princeton, em 18 de abril de 1955.


 




Outros:


  • DANIEL GABRIEL FAHRENHEIT (1686-1736), físico alemão: começou a construir seus próprios termômetros após uma visita ao astrônomo dinamarquês Olaf Roemer (1644-1710), e, em 1714, passou a usar mercúrio como substância termométrica. Em 1724 criou a escala que leva seu nome, sendo 32 o valor atribuído para a fusão da água e 212 para a sua ebulição;

  • ANDERS CELSIUS (1701-1744), astrônomo e físico sueco: em 1742, apresentou à Real Sociedade sueca sua escala, que adotava 0 para a ebulição da água e 100 para sua fusão. Em 1745, o biólogo Carlos Lineu (1707-1778) propôs a inversão desses valores, sendo 0 para fusão e 100 para ebulição. A adoção da escala Celsius ocorreu apenas em 1948;

  • ANTOINE-LAURENT LAVOISIER (1743-1794), químico francês: explicou a combustão, como sendo uma simples reação com o oxigênio. Introduziu o termo "calórico" para descrever o elemento imponderável responsável pelo aquecimento dos corpos, por algumas reações químicas, etc. Junto com Pierre-Simon Laplace (1749-1827), fez importantes estudos sobre o calor liberado na combustão. Morreu guilhotinado;

  • CHRISTIAN HUYGENS (1629-1695), físico holandês: propôs a teoria ondulatória para explicar a natureza da luz, na qual afirma que ela se propaga por meio de ondas, do mesmo modo que o som. Mas o som não se propaga no vácuo, e a luz sim, para explicar isto, Huygens imaginou um meio elástico e imponderável a que chamou de "éter";

  • JAMES CLERCK MAXWELL (1831-1879), físico escocês: aperfeiçoou a teoria de Huygens e formulou a teoria ondulatória magnética, na qual afirma que a luz é constituída pelas denominadas ondas eletromagnéticas. Assim resolveu-se o problema da propagação da luz no vácuo, já que essas ondas podem fazê-lo porque são geradas de variações de campo elétrico e de campo magnético;

  • HEINRICH-RUDOLF HERTZ (1857-1894), físico alemão: descobriu e efeito fotoelétrico, em 1887, pelo qual, em certas condições, a luz pode arrancar elétrons da superfície de um metal. Essa efeito não é explicável pela teoria ondulatória. Este efeito foi explicado pelo renomado físico alemão Albert Einstein (1879-1955), ele imaginava que a luz e toda radiação eletromagnética é emitida ou absorvida de modo descontínuo;

  • BENJAMIM FRANKLIN (1706-1790), cientista e político americano: após muitas experiências de outros cientistas, foi quem deu o impulso definitivo para a ciência elétrica, não apenas pela invenção do pára-raios, mas especialmente por suas pesquisas e conceitos no campo da eletricidade;

  • CHARLES AUGUSTIN DE COULOMB (1736-1806), cientista francês: realizou os primeiros estudos quantitativos sobre as ações entre corpos eletricamente carregados. Estabeleceu também uma lei que leva o seu nome, através da utilização de uma balança de torção;

  • ALESSANDRO VOLTA (1745-1827), físico italiano: construiu sua pilha elétrica no início do século XIX, tendo início, a partir daí, a fase mais importante da eletricidade, com a obtenção das cargas elétricas em movimento, o que deu-se o nome de corrente elétrica;

  • GEORG SIMON OHM (1787-1854), físico alemão: introduziu o conceito de resistência elétrica e enunciou a lei que leva seu nome. Também foi graças a ele que os estudos sobre corrente elétrica tiveram grande evolução;

  • CLAUDE POUILLET (1790-1868), físico francês: responsável pela lei que permite determinar a intensidade da corrente num circuito simples.  Tiveram também grande destaque nas experiências com circuitos elétricos o inglês Charles Wheatstone (1802-1875) e o alemão Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887);

  • THOMAS ALVA EDISON (1847-1930), inventor norte-americano: contribuiu bastante para as aplicações práticas da eletricidade, muitas essenciais para a construção do mundo tecnológico em que vivemos. Pode-se citar, dentre uma de suas invenções, a lâmpada elétrica, o microfone, o projetor cinematográfico e o aperfeiçoamento do telefone (inventado por Graham Bell);

  • CHRISTIAN OERSTED (1771-1851), físico dinamarquês: verificou que, ao colocar uma bússola sob um fio elétrico, a agulha desviava quando se fazia passar uma corrente pelo fio. A partir desse fato, estabeleceu-se a conexão entre corrente elétrica e os fenômenos magnéticos. Nascia aí o Eletromagnetismo;


Existem muitos outros cientistas e físicos que não foram citados acima, veja uma lista deles:

Brahe
Stevin
Boyle
Torricelli
Snell
Hooke
Gilbert
Guericke
Watt
Henry
Faraday
Heisenberg
Lens
Joule
Lorentz
Ampère
Schrödinger
Millikan
Planck
Fermi
De Broglie

 Fonte : http://www.sobrefisica.hpg.ig.com.br/g_genios.htm









quinta-feira, 28 de abril de 2011

Progressão geométrica (PG0


Fórmula da seqüência numérica

Carlos Alberto Campagner*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
Assim como a progressão aritmética, a progressão geométrica (PG) é uma maneira de estabelecer uma seqüência de números. Neste caso, no entanto, em vez de uma soma como elemento constante, temos uma múltiplicação.

Imagine uma progressão em que a lei de formação seja a multiplicação do termo anterior por um número. A progressão com esta lei de formação chama-se Progressão Geométrica ou P.G.. Exemplo:

(2,4,8,16,32,64,...)

O quociente entre dois números consecutivos é igual a 2.


reprodução


Fórmula da PG: do enésimo termo

Pela definição de PG, a fórmula de um termo é:


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Logo pode-se deduzir que para um termo qualquer :


(*)
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Fórmula da soma de um a P.G.

Como não temos o gênio de Gauss, que descobriu a fórmula das Progressões Aritméticas num estalo, a dedução da fórmula da soma de uma P.G. é um pouco mais trabalhosa.

Em uma P.G. a soma dos n primeiros termos será:

(**)
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Multiplicando-se os dois termos por q tem-se:


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Como


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Tem-se

(***)
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Fazendo (**) menos (***) obtemos:


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Como de (*)


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Logo:


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para (pois é óbvio que com q = 1 não existe P.G.)

Uma curiosidade:

Conta a lenda que o inventor do jogo de xadrez foi agraciado pelo rei por sua invenção com um pedido. O inventor pediu pouca coisa:

1 grão de trigo para a primeira casa do tabuleiro de xadrez,
2 grãos pela segunda casa,
4 grãos pela terceira casa,
8 grãos pela quarta casa
e assim sucessivamente até a 64º do tabuleiro.

Será que ele pediu pouca coisa?



reprodução


O resultado é nada menos que18.446.744.073.709.551.615 grãos... ou seja, dezoito quintilhões, quatrocentos e quarenta e seis quatrilhões, setecentos e quarenta e quatro trilhões, setenta e três bilhões, setecentos e nove milhões, quinhentos e cinqüenta e um mil, seiscentos e quinze grãos

quinta-feira, 14 de abril de 2011

Progressão Aritmética

Interpolação Aritmética

É a ação de inserir ou interpolar uma quantidade de meios aritméticos entre extremos de uma progressão aritmética. A fórmula utilizada é:
Onde: Un=U1+(n-1).r
un = Último termo da P.A.
u1 = Primeiro termo da P.A.
n = Número total de termos da P.A.
r = Razão da P.A.

Tipos de progressões aritméticas

Progressão aritmética constante

Uma progressão aritmética constante ou estacionária é toda progressão aritmética em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre igual a zero.
Exemplos de progressão aritmética constante:
  • P.A. (5,5,5,5,5,5,5,5,5,...) - razão r = 0
  • P.A. (0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão r = 0

Progressão aritmética crescente

Uma progressão aritmética crescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre maior que zero (r>0).
Exemplos de progressão aritmética crescente:
  • P.A. (2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,...) - razão r = 2
  • P.A. (3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,...) - razão r = 3

Progressão aritmética decrescente

Uma progressão aritmética decrescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre menor do que zero (r<0).
Exemplos de progressão aritmética decrescente:
  • P.A. (6,4,2,0,-2,-4,-6,-8,-10,-12,-14,-16,-18,-20,-22,-24,-26,-28,...) - razão r = -2
  • P.A. (6,3,0,-3,-6,-9,-12,-15,-18,-21,-24,-27,-30,-33,-36,-39,-42,...) - razão r = -3

Progressão aritmética de segunda ordem

Uma progressão aritmética de segunda ordem é considerada por muitos matemáticos o tipo de progessão aritmética mais complexo. Consiste numa sequência de números que, aparentemente, nada parece com uma progressão aritmética, porém percebe-se que a diferença entre os números da sequência cresce em progressão aritmética como mostra o exemplo:
  • Sequência - (1,3,7,13,21,31,43,57,73bnk)
Se subtrairmos o primeiro termo da sequência do segundo, teremos como resultado o número 2. Já a diferença entre o segundo e terceiro termos é igual a 4, a diferença entre o terceiro e o quarto termos é igual a 6 e assim sucessivamente. Verificamos que a diferença entre os termos da sequência cresce em progressão aritmética de razão igual a 2.

quinta-feira, 7 de abril de 2011

Função Exponencial

Toda relação de dependência, onde uma incógnita depende do valor da outra, é denominada função. A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente. Observe:

y = 2 x
y = 3 x + 4
y = 0,5 x
y = 4 x

A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação:

f: R→R tal que y = a x, sendo que a > 0 e a ≠ 1.

Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 0 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas:
Uma função exponencial é utilizada na representação de situações onde a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras envolvendo potenciação.

Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso de funções exponenciais.

Exemplo 1

(Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0 * 2 –0,2t, em que v0 é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.
Temos que v(10) = 12 000, então:

v(10) = v0 * 2 –0,2*10

12 000 = v0 * 2
–2

12 000 = v0 * 1/4

12 000 : 1/ 4 = v0

v0 = 12 000 * 4

v0 = 48 000
A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.

sábado, 2 de abril de 2011

FUNÇÃO COMPOSTA

determinação de uma terceira função C, formada pela junção das funções A e B. Matematicamente falando, temos que f: A → B e g: B → C, denomina a formação da função composta de g com f, h: A → C. Dizemos função g composta com a função f, representada por gof.

Exemplo 1

Ao considerarmos as funções f(x) = 4x e g(x) = x² + 5, determinaremos:

a) g o f

(g o f)(x) = g(f(x))

g(x) = x² + 5
g(4x) = (4x)² + 5
g(4x) = 16x² + 5

(g o f)(x) = g(f(x)) = 16x² + 5



b) f o g

(f o g)(x) = f(g(x))

f(x) = 4x
f(x² + 5) = 4 * (x² + 5)
f(x² + 5) = 4x² + 20

(f o g)(x) = f(g(x)) = 4x² + 20


Exemplo 2

Vamos determinar g(f(x)) e f(g(x)), em relação às funções f(x) = x + 2 e g(x) = 4x² – 1.


(g o f)(x) = g(f(x))

g(x) = 4x² – 1
g(x + 2) = 4 * (x + 2)² – 1
g(x + 2) = 4 * (x + 2) * (x + 2) – 1
g(x + 2) = 4 * (x² + 2x + 2x + 4) – 1
g(x + 2) = 4 * (x² + 4x + 4) – 1
g(x + 2) = 4x² + 16x + 16 – 1
g(x + 2) = 4x² + 16x + 15

(g o f)(x) = g(f(x)) = 4x² + 16x + 15



(f o g)(x) = f(g(x))

f(x) = x + 2
f(4x² – 1) = (4x² – 1) + 2
f(4x² – 1) = 4x² – 1 + 2
f(4x² – 1) = 4x² + 1

(f o g)(x) = f(g(x)) = 4x² + 1


1 - FUNÇÃO INVERSA
Dada uma função f : A ® B , se f é bijetora , então define-se a função inversa f -1 como sendo a função de B em A , tal que f -1 (y) = x .
Veja a representação a seguir:

É óbvio então que:
a) para obter a função inversa , basta permutar as variáveis x e y .
b) o domínio de f -1 é igual ao conjunto imagem de f .
c) o conjunto imagem de f -1 é igual ao domínio de f .
d) os gráficos de f e de f -1 são curvas simétricas em relação à reta y = x ou seja , à bissetriz do primeiro quadrante .
Exemplo:
Determine a INVERSA da função definida por y = 2x + 3.
Permutando as variáveis x e y, fica: x = 2y + 3
Explicitando y em função de x, vem:
2y = x - 3 \ y = (x - 3) / 2, que define a função inversa da função dada.
O gráfico abaixo, representa uma função e a sua inversa.
Observe que as curvas representativas de f e de f-1, são simétricas em relação à reta
y = x, bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.

Exercício resolvido:
A função f: R ® R , definida por f(x) = x2 :
a) é inversível e sua inversa é f -1 (x) = Ö x
b) é inversível e sua inversa é f -1(x) = - Ö x
c) não é inversível
d) é injetora
e) é bijetora
SOLUÇÃO:
Já sabemos que somente as funções bijetoras são inversíveis, ou seja, admitem função inversa. Ora, a função f(x) = x2, definida em R - conjunto dos números reais - não é injetora, pois elementos distintos possuem a mesma imagem. Por exemplo,
f(3) = f(-3) = 9. Somente por este motivo, a função não é bijetora e, em conseqüência, não é inversível.
Observe também que a função dada não é sobrejetora, pois o conjunto imagem da função f(x) = x2 é o conjunto R + dos números reais não negativos, o qual não coincide com o contradomínio dado que é
igual a R. A alternativa correta é a letra C.
2 - FUNÇÃO COMPOSTA
Chama-se função composta ( ou função de função ) à função obtida substituindo-se a variável independente x , por uma função.
Simbologia : fog (x) = f(g(x)) ou gof (x) = g(f(x)) .
Veja o esquema a seguir:

Obs : atente para o fato de que fog ¹ gof , ou seja, a operação " composição de funções " não é comutativa .
Exemplo:
Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = 5x, pede-se determinar gof(x) e fog(x).
Teremos:
gof(x) = g[f(x)] = g(2x + 3) = 5(2x + 3) = 10x + 15
fog(x) = f[g(x)] = f(5x) = 2(5x) + 3 = 10x + 3
Observe que fog ¹ gof .
Exercícios resolvidos:
1 - Sendo f e g duas funções tais que: f(x) = ax + b e g(x) = cx + d . Podemos afirmar que a igualdade gof(x) = fog(x) ocorrerá se e somente se:
a) b(1 - c) = d(1 - a)
b) a(1 - b) = d(1 - c)
c) ab = cd
d) ad = bc
e) a = bc
SOLUÇÃO:
Teremos:
fog(x) = f[g(x)] = f(cx + d) = a(cx + d) + b \ fog(x) = acx + ad + b
gof(x) = g[f(x)] = g(ax + b) = c(ax + b) + d \ gof(x) = cax + cb + d
Como o problema exige que gof = fog, fica:
acx + ad + b = cax + cb + d
Simplificando, vem:
ad + b = cb + d
ad - d = cb - b \ d(a - 1) = b(c - 1), que é equivalente a d(a - 1) = b(c - 1), o que nos leva a concluir que a alternativa correta é a letra A. .
2 - Sendo f e g duas funções tais que fog(x) = 2x + 1 e g(x) = 2 - x então f(x) é:
a) 2 - 2x
b) 3 - 3x
c) 2x - 5
*d) 5 - 2x
e) uma função par.
SOLUÇÃO:
Sendo fog(x) = 2x + 1, temos: f[g(x)] = 2x + 1
Substituindo g(x) pelo seu valor, fica: f(2 - x) = 2x + 1
Fazendo uma mudança de variável, podemos escrever 2 - x = u, sendo u a nova variável. Portanto, x = 2 - u.
Substituindo, fica:
f(u) = 2(2 - u) + 1 \ f(u) = 5 - 2u
Portanto, f(x) = 5 - 2x , o que nos leva à alternativa D.
Agora resolva esta:
Dadas as funções f(x) = 4x + 5 e g(x) = 2x - 5k, ocorrerá gof(x) = fog(x) se e somente se k for igual a:
*a) -1/3
b) 1/3
c) 0
d) 1
e) -1